[{"data":1,"prerenderedAt":4},["ShallowReactive",2],{"lesson:fr:72-qm-angular-momentum":3},"\u003Cp>Le moment cinétique quantique explique la structure des atomes, le spin des particules et une grande partie de la spectroscopie. Contrairement à un vecteur classique qui peut pointer dans n'importe quelle direction, ses composantes ne peuvent pas toutes avoir une valeur définie simultanément. La géométrie des rotations devient une algèbre d'opérateurs.\u003C\u002Fp>\n\n\u003Cdiv class=\"key-concept\">\n  \u003Ch4>Moment cinétique orbital et spin\u003C\u002Fh4>\n  \u003Cp>Le moment cinétique orbital $\\mathbf{L}=\\mathbf{r}\\times\\mathbf{p}$ vient du mouvement spatial. Le spin $\\mathbf{S}$ est intrinsèque : il ne décrit pas une petite sphère en rotation. Les deux obéissent à la même algèbre des rotations.\u003C\u002Fp>\n\u003C\u002Fdiv>\n\n\u003Ch2>Algèbre des rotations\u003C\u002Fh2>\n\n\u003Cp>Pour tout moment cinétique $\\mathbf{J}$, les composantes vérifient :\u003C\u002Fp>\n\n\u003Cdiv class=\"math-block\">\n  $$[J_i,J_j]=i\\hbar\\,\\varepsilon_{ijk}J_k$$\n\u003C\u002Fdiv>\n\n\u003Cp>Comme $[J_x,J_y]\\neq0$, on ne peut pas attribuer simultanément des valeurs exactes à $J_x$, $J_y$ et $J_z$. En revanche, $J^2=J_x^2+J_y^2+J_z^2$ commute avec chaque composante. On choisit donc les états propres communs de $J^2$ et $J_z$ :\u003C\u002Fp>\n\n\u003Cdiv class=\"math-block\">\n  $$J^2|j,m\\rangle=\\hbar^2j(j+1)|j,m\\rangle,\\qquad J_z|j,m\\rangle=\\hbar m|j,m\\rangle$$\n\u003C\u002Fdiv>\n\n\u003Cp>Le nombre $j$ vaut $0,\\frac12,1,\\frac32,\\ldots$, et $m$ prend les $2j+1$ valeurs de $-j$ à $j$.\u003C\u002Fp>\n\n\u003Ch2>Opérateurs d'échelle\u003C\u002Fh2>\n\n\u003Cp>Les opérateurs $J_\\pm=J_x\\pm iJ_y$ changent $m$ sans changer $j$ :\u003C\u002Fp>\n\n\u003Cdiv class=\"math-block\">\n  $$J_\\pm|j,m\\rangle=\\hbar\\sqrt{j(j+1)-m(m\\pm1)}\\,|j,m\\pm1\\rangle$$\n\u003C\u002Fdiv>\n\n\u003Cp>La chaîne doit s'arrêter en $m=\\pm j$, sinon la norme deviendrait négative. Cette simple exigence algébrique produit la quantification du moment cinétique.\u003C\u002Fp>\n\n\u003Ch2>Spin un demi\u003C\u002Fh2>\n\n\u003Cp>Pour un électron, $s=1\u002F2$. Dans la base de $S_z$, les opérateurs sont représentés par les matrices de Pauli :\u003C\u002Fp>\n\n\u003Cdiv class=\"math-block\">\n  $$S_i=\\frac{\\hbar}{2}\\sigma_i,\\quad\n  \\sigma_x=\\begin{pmatrix}0&1\\\\1&0\\end{pmatrix},\\quad\n  \\sigma_y=\\begin{pmatrix}0&-i\\\\i&0\\end{pmatrix},\\quad\n  \\sigma_z=\\begin{pmatrix}1&0\\\\0&-1\\end{pmatrix}$$\n\u003C\u002Fdiv>\n\n\u003Cp>Un état pur de spin un demi correspond à une direction sur la sphère de Bloch :\u003C\u002Fp>\n\n\u003Cdiv class=\"math-block\">\n  $$|\\psi\\rangle=\\cos\\frac{\\theta}{2}|\\uparrow\\rangle+e^{i\\phi}\\sin\\frac{\\theta}{2}|\\downarrow\\rangle$$\n\u003C\u002Fdiv>\n\n\u003Cdiv class=\"key-concept\">\n  \u003Ch4>Pourquoi l'angle est divisé par deux\u003C\u002Fh4>\n  \u003Cp>Les états de spin un demi forment une représentation de $SU(2)$, le double revêtement du groupe des rotations $SO(3)$. Une rotation de $2\\pi$ multiplie le ket par $-1$, et une rotation de $4\\pi$ le ramène exactement à sa valeur initiale. Le signe global est invisible pour un état isolé, mais devient observable par interférence.\u003C\u002Fp>\n\u003C\u002Fdiv>\n\n\u003Ch2>Addition des moments cinétiques\u003C\u002Fh2>\n\n\u003Cp>Pour deux systèmes, le moment total est $\\mathbf{J}=\\mathbf{J}_1+\\mathbf{J}_2$. Les valeurs possibles de $j$ sont :\u003C\u002Fp>\n\n\u003Cdiv class=\"math-block\">\n  $$j=|j_1-j_2|,\\ |j_1-j_2|+1,\\ldots,j_1+j_2$$\n\u003C\u002Fdiv>\n\n\u003Cp>Deux spins un demi donnent ainsi un triplet $j=1$ et un singulet $j=0$ :\u003C\u002Fp>\n\n\u003Cdiv class=\"math-block\">\n  $$|0,0\\rangle=\\frac{|\\uparrow\\downarrow\\rangle-|\\downarrow\\uparrow\\rangle}{\\sqrt2}$$\n\u003C\u002Fdiv>\n\n\u003Cp>Ce singulet est invariant sous les rotations communes et constitue l'état intriqué utilisé dans les tests de Bell.\u003C\u002Fp>\n\n\u003Ch2>Moment cinétique orbital\u003C\u002Fh2>\n\n\u003Cp>Pour une fonction d'onde spatiale, $L^2$ et $L_z$ ont pour fonctions propres les harmoniques sphériques $Y_\\ell^m(\\theta,\\phi)$. Ici $\\ell$ est entier, car la fonction d'onde orbitale doit reprendre la même valeur après une rotation complète. La parité d'une harmonique sphérique vaut $(-1)^\\ell$.\u003C\u002Fp>\n\n\u003Ch2>Exercices\u003C\u002Fh2>\n\u003Col>\n  \u003Cli>Listez les valeurs de $m$ pour $j=2$.\u003C\u002Fli>\n  \u003Cli>Montrez que l'état singulet a une valeur propre nulle pour $J_z=S_{1z}+S_{2z}$.\u003C\u002Fli>\n  \u003Cli>Quels moments totaux peut-on obtenir en combinant $j_1=1$ et $j_2=1\u002F2$ ?\u003C\u002Fli>\n\u003C\u002Fol>\n\n\u003Ch2>Points Clés\u003C\u002Fh2>\n\u003Cul>\n  \u003Cli>Les commutateurs du moment cinétique codent la géométrie quantique des rotations.\u003C\u002Fli>\n  \u003Cli>Les états $|j,m\\rangle$ diagonalissent simultanément $J^2$ et une composante, généralement $J_z$.\u003C\u002Fli>\n  \u003Cli>Le spin est intrinsèque et ne correspond pas à une rotation mécanique classique.\u003C\u002Fli>\n  \u003Cli>L'addition des moments cinétiques produit des superpositions décrites par les coefficients de Clebsch-Gordan.\u003C\u002Fli>\n  \u003Cli>Le singulet de deux spins un demi relie symétrie de rotation et intrication.\u003C\u002Fli>\n\u003C\u002Ful>\n",1786528188030]