Chaos Classique
Les lois de Newton sont déterministes : un état initial fixe une trajectoire. Pourtant, certains systèmes deviennent imprévisibles en pratique. Le chaos classique explique ce paradoxe. Il ne vient pas d'un hasard ajouté aux équations, mais d'une amplification rapide des petites incertitudes. Cette leçon relie l'espace des phases, les équations de Hamilton et l'émergence d'un comportement complexe.
Déterminisme et prédictibilité
Un système est déterministe si ses équations et son état initial déterminent son évolution. Il est prédictible seulement si les incertitudes initiales restent assez petites. Un système chaotique peut être déterministe et perdre rapidement sa prédictibilité.
Sensibilité aux conditions initiales
Considérons deux états initiaux séparés par une petite distance $\delta(0)$ dans l'espace des phases. Dans une région chaotique, leur séparation croît approximativement comme :
Le nombre $\lambda$ est un exposant de Lyapunov. Un exposant maximal positif signale une divergence exponentielle des trajectoires voisines. Le temps $t_L = 1/\lambda$ donne l'échelle sur laquelle une erreur est multipliée par $e$.
Horizon de prédiction
Supposons une incertitude initiale $\delta_0$ et une erreur maximale acceptable $\Delta$.
On impose $\delta_0 e^{\lambda t_*}=\Delta$.
Le temps utile de prédiction vaut donc $t_* = \lambda^{-1}\ln(\Delta/\delta_0)$. Améliorer la précision initiale d'un facteur mille n'ajoute qu'un temps logarithmique.
Pourquoi la non-linéarité compte
Un système linéaire combine simplement ses solutions et ne produit pas le repliement complexe nécessaire au chaos borné. Les termes non linéaires couplent les degrés de liberté. Ils étirent des régions de l'espace des phases, puis les replient pour les maintenir dans une zone finie. L'étirement crée la sensibilité, le repliement mélange les trajectoires.
Section de Poincaré
Une trajectoire hamiltonienne à deux degrés de liberté vit dans un espace des phases à quatre dimensions. Une section de Poincaré enregistre les intersections successives avec une surface choisie. Elle transforme un flot continu en une application discrète plus facile à lire :
- une orbite périodique produit un nombre fini de points ;
- un mouvement quasi périodique dessine une courbe fermée ;
- une région chaotique remplit une aire de points irréguliers.
Exemple : le pendule forcé
Un pendule amorti et entraîné par une force périodique obéit à :
Le terme $\sin\theta$ rend l'équation non linéaire. Selon $A$, $\Omega$ et $\gamma$, le pendule peut osciller périodiquement, doubler sa période, puis devenir chaotique. Le chaos n'exige donc pas beaucoup d'objets : un seul angle, sa vitesse et un entraînement périodique suffisent.
Ordre dans le chaos
Le chaos ne signifie pas absence de structure. Les systèmes hamiltoniens conservent le volume de l'espace des phases, conformément au théorème de Liouville. Des îlots réguliers peuvent coexister avec des mers chaotiques. Le théorème KAM indique que certaines trajectoires quasi périodiques survivent à une petite perturbation intégrable, tandis que les résonances se brisent d'abord.
Chaos et hasard
Le chaos classique amplifie une ignorance sur l'état initial. Le hasard quantique, dans l'interprétation usuelle, concerne les probabilités des résultats de mesure. Les deux limitent les prédictions, mais ils ne désignent pas le même mécanisme.
Exercices
- Si $\lambda=0{,}5\,\mathrm{s}^{-1}$, après combien de temps une erreur est-elle multipliée par 100 ?
- Expliquez pourquoi une trajectoire chaotique ne viole pas la conservation de l'énergie dans un système hamiltonien autonome.
- Comparez ce qu'une section de Poincaré montre pour une orbite périodique et une trajectoire chaotique.
- Un système chaotique peut être déterministe tout en étant imprévisible à long terme.
- Un exposant de Lyapunov positif mesure l'amplification exponentielle des erreurs initiales.
- La non-linéarité permet l'étirement et le repliement des trajectoires dans l'espace des phases.
- Les sections de Poincaré distinguent visuellement mouvements périodiques, quasi périodiques et chaotiques.
- Le chaos possède une structure géométrique et respecte les lois de conservation du système.