Leçon 7.5 · 7. Théorie Quantique des Champs

Méthodes Fonctionnelles en TQC

La formulation canonique décrit les champs par des opérateurs qui évoluent dans le temps. L'intégrale fonctionnelle adopte une autre perspective : elle somme sur toutes les configurations possibles du champ. Ce langage rend les symétries, les diagrammes de Feynman et la théorie effective particulièrement transparents.

Une intégrale sur des fonctions

Une intégrale ordinaire somme sur des nombres. Une intégrale fonctionnelle somme sur des fonctions entières $\phi(x)$. Le symbole $\mathcal{D}\phi$ représente formellement la mesure sur cet espace de configurations. En pratique, on définit d'abord le problème sur un réseau ou avec un régulateur, puis on étudie la limite continue.

Amplitude et action

Pour un champ scalaire, l'amplitude de transition prend la forme :

Z=\int\mathcal{D}\phi\,e^{iS[\phi]/\hbar}

Chaque histoire du champ contribue avec une phase fixée par son action. Lorsque $S\gg\hbar$, les configurations voisines s'annulent sauf près des points stationnaires $\delta S=0$. Les équations classiques du champ apparaissent ainsi par phase stationnaire.

Fonctionnelle génératrice

On ajoute une source externe $J(x)$ :

Z[J]=\int\mathcal{D}\phi\,\exp\left[\frac{i}{\hbar}\left(S[\phi]+\int d^4x\,J(x)\phi(x)\right)\right]

Les dérivées fonctionnelles par rapport à $J$ insèrent des champs dans l'intégrale :

\langle0|T\phi(x_1)\cdots\phi(x_n)|0\rangle= \left.\frac{1}{Z[0]}\left(\frac{\hbar}{i}\right)^n \frac{\delta^n Z[J]}{\delta J(x_1)\cdots\delta J(x_n)}\right|_{J=0}

Ces fonctions de corrélation sont les objets dont la formule LSZ extrait les amplitudes de diffusion.

Théorie libre et propagateur

Pour une action quadratique, l'intégrale est gaussienne et peut être calculée exactement. Le résultat fait apparaître le propagateur de Feynman $\Delta_F$ :

Z_0[J]=Z_0[0]\exp\left[-\frac{i}{2\hbar}\int d^4x\,d^4y\,J(x)\Delta_F(x-y)J(y)\right]

Le propagateur est l'inverse de l'opérateur différentiel quadratique, avec la prescription causale appropriée. Ce n'est pas la trajectoire d'une particule cachée : c'est une fonction de corrélation.

Interactions et diagrammes

Pour une interaction $\lambda\phi^4/4!$, on développe l'exponentielle en puissances de $\lambda$. Le théorème de Wick organise toutes les contractions. Chaque contraction donne un propagateur, chaque terme d'interaction un vertex, et la combinatoire produit les facteurs de symétrie. Les diagrammes de Feynman sont donc un registre graphique du développement perturbatif.

Connexe, irréductible et effectif

$W[J]=-i\hbar\ln Z[J]$ génère les diagrammes connexes. Sa transformée de Legendre, l'action effective $\Gamma[\phi_c]$, génère les vertex irréductibles à une particule. L'équation $\delta\Gamma/\delta\phi_c=0$ contient les équations du mouvement corrigées par les effets quantiques.

Rotation de Wick

L'intégrale oscillante en temps réel est souvent difficile à définir. En posant $t=-i\tau$, on passe formellement au temps euclidien :

Z_E=\int\mathcal{D}\phi\,e^{-S_E[\phi]/\hbar}

Le poids ressemble alors à une distribution de Boltzmann. Cette connexion permet les simulations de théorie de jauge sur réseau. Le retour au temps réel exige toutefois des conditions analytiques précises, et le problème du signe peut rendre certaines théories numériquement très difficiles.

Identités de Ward

Un changement de variable dans l'intégrale fonctionnelle laisse $Z$ invariant si la mesure et l'action respectent la symétrie. On obtient alors des identités entre fonctions de corrélation. Pour une symétrie de jauge, les identités de Ward-Takahashi garantissent la conservation du courant et contraignent la renormalisation. Si la mesure n'est pas invariante, une anomalie quantique peut apparaître.

Exercices

Expliquez pourquoi le logarithme de $Z[J]$ sélectionne les diagrammes connexes.
Quelle différence physique sépare le propagateur d'une trajectoire classique ?
Pourquoi le poids euclidien est-il mieux adapté à une méthode de Monte-Carlo ?

Points Clés

L'intégrale fonctionnelle somme sur les configurations de champ pondérées par $e^{iS/\hbar}$.
La fonctionnelle génératrice produit les fonctions de corrélation par dérivation fonctionnelle.
Les diagrammes de Feynman organisent le développement perturbatif, ils ne représentent pas des histoires littérales.
L'action effective rassemble les corrections quantiques aux équations classiques.
La rotation de Wick relie théorie quantique des champs et physique statistique, sous des hypothèses analytiques contrôlées.

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